касательные, или контактные, преобразования, преобразования кривых на плоскости, при которых две касающиеся друг друга кривые преобразуются в две другие кривые, также касающиеся друг друга. П. п. определяются формулами:

X = f (х, у, у'); Y = φ (х, у, у'), (*)

где х, у - координаты переменной точки кривой, a X, Y - координаты переменной точки её образа. Для того чтобы формула (*) определяла П. п., Y' = dY/dX должно быть независимо от у'' = d²y/dx². Примером П. п. могут служить точечные преобразования, определяемые формулами: X = f (x, y); Y = φ(x, y), а также Лежандра преобразование.

П. п. применяются в теории дифференциальных уравнений и в дифференциальной геометрии. Общая теория П. п. была развита С. Ли. Аналогичным образом определяются П. п. поверхностей в пространстве.

Лит.: Гурса Э., Курс математического анализа, пер. с франц., 3 изд., т. 1, М. - Л., 1936; Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. - Л., 1947.

см. в ст. Галилея принцип относительности.

взаимно однозначное отображение проективной плоскости (См. Проективная плоскость) или проективного пространства (См. Проективное пространство) в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому П. п. иногда называется коллинеацией). П. п. проективной прямой называется взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется Гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером П. п. является Гомология - П. п., оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером П. п. пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры F, лежащей в плоскости П, из точки S в фигуру F', расположенную в плоскости П', любое П. п. получается конечной последовательностью перспектив. П. п. образуют группу (См. Группа), основным инвариантом которой является Двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп П. п., оставляющих на месте некоторую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика).

Основная теорема о П. п. проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости П, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки A', B', C', D' той же плоскости, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно П. п., которое точки А, В, С, D переводит соответственно в точки A', B', C', D'. Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там П. п. определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.

В однородных координатах П. п. выражается однородным линейным преобразованием (См. Линейное преобразование), определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также П. п. евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями (См. Дробно-линейная функция), причём свойство взаимной однозначности утрачивается.

Лит. см. при ст. Проективная геометрия.

точечные взаимно однозначные отображения (См. Отображение) плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартова система координат, то любое А. п. этой плоскости может быть определено посредством т. н. невырожденного линейного преобразования координат х и у точек этой плоскости. Такое преобразование задаётся формулами х' = ах + bу + р, y' = cx + dy + q с дополнительным требованием

Аналогично, любое А. пространства может быть определено при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства. Совокупность всех А. п. плоскости (пространства) на себя образует группу (См. Группа) А. п. Это означает, в частности, что последовательное проведение двух А. п. эквивалентно некоторому одному А. п.

Примерами А. п. могут служить ортогональное прообразование (это преобразование представляет собой движение плоскости или пространства или движение с зеркальным отражением); преобразование подобия; равномерное "сжатие" (рис.). Равномерное "сжатие" с коэффициентом k плоскости π к расположенной на ней прямой а - преооразование, при котором точки а остаются на месте, а каждая не лежащая на а точка М плоскости π смещается по лучу, проходящему через М перпендикулярно а, в такую точку M', что отношение расстояний от М и М 'до а равно k; аналогично определяется равномерное "сжатие" пространства к плоскости. Всякое А. п. плоскости можно получить, выполнив некоторое ортогональное преобразование и последовательное "сжатие" к некоторым двум перпендикулярным прямым. Любое А. п. пространства можно осуществить посредством некоторого ортогонального преобразования и последовательных "сжатии" к некоторым трём взаимно перпендикулярным плоскостям. При А. п. параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плоскости. Свойства А. п. широко используются в различных разделах математики, механики и теоретической физики. Так, в геометрии А. п. применяются для т. н. аффинной классификации фигур. В механике А. п. пользуются при изучении малых деформаций непрерывной сплошной среды; при таких деформациях малые элементы среды в первом приближении подвергаются А. п.

Лит.: Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, 4 изд., М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М. , 1968; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

Э. Г. Позняк.

Аффинное преобразование плоскости (равномерное сжатие и растяжение).